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2.1 数据的表示 ​

2.1.1 进位计数制 ​

Pasted image 20251112172818.png 基数：内个数码位所用到的符号的数量，r进制的基数为r

位权展开法（转为十进制） ​

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二八十六进制互转 ​

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除基取余法（十进制转任意进制） ​

除二倒取余： Pasted image 20251112174326.png

乘基取整法 ​

乘二正取整： Pasted image 20251112174629.png 0.2与0.3无法使用二进制精确的表示，是因为没有2^x的组合能够拼出这两个数，只能无限的接近，一般取到小数点第五位

真值与机器数 ​

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2.1.2 定点数的编码表示 ​

无符号数 ​

Pasted image 20251112175953.pngPasted image 20251112180022.png 通常讨论无符号数时，只会讨论整数

有符号数 ​

Pasted image 20251112180327.pngPasted image 20251112183104.pngPasted image 20251112182404.png

  • 原码： Pasted image 20251112180910.png

    Pasted image 20251112181255.png

  • 反码：与原码一一对应 Pasted image 20251112181409.png

  • 补码： Pasted image 20251112182058.png 由[x]补求[-x]补：符号位与数值为全部取反，末尾再+1 由补码求原码的快速运算：符号位不变，从右向左找到第一个“1”，将这个“1”左侧剩余的尾数取反，即可得到源码。用尾数取反+1也是一样的

  • 移码：可以使用移码的值来比较真值的大小 Pasted image 20251112182235.png

2.1.2 码的作用 ​

Pasted image 20251113164652.png 在使用有符号数的原码进行运算的时候（+-），必须要考虑数的正负，否则计算的结果会有异常，我们可以使用模运算将两个数的减法变为加法

模运算 ​

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由于模运算的性质，实质上是将数分为不同的类，上例中分为12类，而在字长为8bit的计算机中，是将数分为了2^8 类，也就是8位的计算机会自动的进行mod2^8的操作： Pasted image 20251113170453.png 补码，也就是原码的补数，通过这样的方式就能仅在ALU中实现加法操作

2.1.4 C语言中的类型转换 ​

在计算机中，有符号定点整数通常是使用补码来表示的 Pasted image 20251113171927.png

零扩展与符号扩展 ​

Pasted image 20251113172127.png

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2.2 数据的运算 ​

2.2.0 电路 ​

优先级：非>与>或，有括号先算括号 Pasted image 20251113174907.png

基本逻辑运算 ​

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复合逻辑运算 ​

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多路选择器 ​

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三态门 ​

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2.2.1 加法器 ​

串行进位的并行加法器 ​

进位信息是串行产生的，只有后一位运算完，前一位才能得到稳定的结果，这也叫行波进位 Pasted image 20251113181258.png

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并行进位的并行加法器 ​

Pasted image 20251113181810.png 无论是串行还是并行，都可以封装为一个加法器，不必关心其内部

带有标志位的加法器 ​

Pasted image 20251113182101.pngPasted image 20251113182551.png

算数逻辑单元ALU ​

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Pasted image 20251113183857.png

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2.2.2 定点数的位移运算 ​

逻辑移位（无符号整数） ​

Pasted image 20251113190330.pngPasted image 20251113190415.png

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算数移位（带符号整数 补码） ​

Pasted image 20251113190809.pngPasted image 20251113190841.png

Pasted image 20251113191051.png

2.2.3 定点数的加减运算 ​

Pasted image 20251113192650.png

这种方式实现很困难，一般使用补码： Pasted image 20251113193326.png

只有同号的两个数相加才会溢出，异号的两个数的和只能比这两个数的绝对值更小，不可能溢出： Pasted image 20251113193900.png

溢出判断 ​

Pasted image 20251113194318.png

Pasted image 20251113194521.png

Pasted image 20251113194829.png

2.2.4 无符号数的加减运算 ​

回顾带符号数的加减运算 ​

Pasted image 20251123161611.png

无符号数的加法运算 ​

与有符号数的加法运算是一样的： Pasted image 20251123162143.png

无符号数的减法运算 ​

与有符号数的减法运算是一样的： Pasted image 20251123162427.png

溢出判断 ​

Pasted image 20251123162645.png

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电路实现补码加减运算 ​

参考本章：带有标志位的加法器中的标志位的生成原理 Pasted image 20251123163823.png

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2.2.5 无符号与带符号整数乘除法 ​

无符号整数乘法 ​

Pasted image 20251123165438.png

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Pasted image 20251123170110.pngPasted image 20251123170240.png

溢出判断 ​

在大部分计算机中，n bit的数相乘依旧为n bit，这就可能会发生溢出 Pasted image 20251123170811.png

带符号数乘法 ​

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Pasted image 20251123172729.pngPasted image 20251123172857.png

溢出判断 ​

Pasted image 20251123173952.png 对于1110 1110 就查看1110 1 这n+1个bit是否完全相同

计算机实现乘法的三种方式 ​

Pasted image 20251129141037.png

两位乘法 ​

每轮（也就是在同样的时钟周期）中处理末尾的2bit，原先使用n个时钟的情况下的乘法，现在可以使用n/2个时钟处理完。

阵列乘法器 ​

使用更多的硬件，就可以减少时钟周期（不需要掌握电路原理） Pasted image 20251129135937.png

逻辑运算、加减运算等效实现 ​

可以使用软件的形式实现乘法，不过其速度很慢 Pasted image 20251129140234.png

无符号整数的除法 ​

手算 ​

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除法电路 ​

重点关注开始状态、结束状态以及异常，中间细节可以放缓 Pasted image 20251129142932.pngPasted image 20251129143324.png 这里使用的是回复余数法，同时也有不恢复的方式

商溢出 ​

Pasted image 20251129154221.png

2.3 浮点数 ​

在考研中，仅考察IEEE 754的规则，其他规则并不考察。并且考研中，浮点数进关注加减法，不关注乘除法

2.3.1 IEEE 754 标准浮点数 ​

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由于计算机的机器字长是有限的，对于一个超大数据，我们不可能一直扩展其位数长度，我们可以将其中的一部分舍去（数据精度丢失），以用更少的bit存储，同时对于整体的影响并不太大。 Pasted image 20251129161709.png

位数的位数决定了表示的数的精度，阶码表示数值表示的范围的大小，在计算机中基数默认是2： Pasted image 20251129161827.png

float ​

由于规格化的位数，它一定会有一个1在首位，所以我们隐含的默认它，将这一位用于存储更低位的位数。阶码，表示小数点的向前向后的移动，使用移码存储： Pasted image 20251129162408.png

double ​

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2.3.2 浮点数的表示范围 ​

特殊转态浮点数 ​

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表示范围 ​

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溢出 ​

Pasted image 20251129165652.pngPasted image 20251129165950.png IEEE 规定浮点数溢出不会导致程序的中断

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2.3.3 数据的存储和排列 ​

这里B站的视频少了几节？

大小端模式 ​

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边界对齐 ​

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